Quadratische Funktionen werden in den meisten Fällen in der Form $f(x)= a x^2 + b x + c$ dargestellt. Manchmal ist es allerdings sinnvoll, eine andere Form zu wählen, da in ihr wichtige Informationen einfach abzulesen sind und nicht errechnet werden müssen.
Die Frage, die man sich stellt, lautet: „Wie kann ich die eine Form in die andere überführen?“
Wenn man z.B. zwei Nullstellen und den Streckfaktor (d.i. der Parameter $a$!) gegeben hat, kann man ohne weiteres die sogenannte Linearfaktorendarstellung aufschreiben: \begin{align} \text{erste Nullstelle} &: x_{N1} \\ \text{zweite Nullstelle} &: x_{N2} \\ \text{Streckfaktor} &: a \\ \\ f(x) &= a \left( x - x_{N1} \right) \left( x - x_{N2} \right) \end{align}
Beispiel:
Es sei $x_{N1} = 5$, $x_{N2} = -2$ und $a = 3$. Dann lautet die Funktion in der Linearfaktorendarstellung: $$ f(x)= 3 \left( x - 5 \right) \left( x + 2 \right) $$
Aus der Linearfaktorendarstellung kann durch Ausmultiplizieren die allgemeine Form bestimmt werden. \begin{align} f(x) &= 3 \left( x - 5 \right) \left( x + 2 \right) \\ &= 3 \left( x^2 - 5 x + 2 x - 10 \right) \\ &= 3 \left( x^2 - 3 x - 10 \right) \\ &= 3 x^2 - 9 x - 30 \end{align} Damit hat man die allgemeine Form: $$ f(x) = 3 x^2 - 9 x - 30 $$
Aus der allgemeinen Form kann durch Ausklammern von $a$ die Normalform aufgestellt werden.
\begin{align}
f(x) &= 3 x^2 - 9 x - 30 \\
f(x) &= 3 \left( x^2 - 3 x - 10 \right)
\end{align}
Dasselbe Ergebnis erhält man natürlich auch, wenn die beiden Linearfaktoren ohne den Streckfaktor ($a$) ausmultipliziert
werden (s.o.).
Die Normalform ist die Ausgangsform für die allgemeine Lösung von quadratischen Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel. Dann heißt es:
\begin{align}
f(x) &= 3 \left( x^2 - 3 x - 10 \right) \\ \\
0 &= 3 \left( x^2 - 3 x - 10 \right) \\
0 &= x^2 - 3 x - 10 \\ \\
x_{1,2} &= - \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-3}{2} \right)^2 - (-10)} \\
&= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{40}{4}} \\
&= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \\
&= \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2} \\ \\
x_1 &= \frac{3}{2} - \frac{7}{2} = - 2 \\
x_2 &= \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 5
\end{align}
Wird die Normalform nicht Null gesetzt, sondern quadratisch ergänzt, erhält man die Scheitelpunktform. \begin{align} f(x) &= 3 \left( x^2 - 3 x - 10 \right) \\ &= 3 \left( x^2 - 3 x + \left(\frac{3}{2} \right)^2 - \left(\frac{3}{2} \right)^2 -10 \right) \\ &= 3 \left( \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \left(\frac{3}{2} \right)^2 - 10 \right) \\ &= 3 \left( \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} - \frac{40}{4} \right) \\ &= 3 \left( \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{49}{4} \right) \\ &= 3 \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{147}{4} \\ &= 3 \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - 36 \frac{3}{4} \\ \\ f(x) &= 3 \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - 36,75 \end{align} Der Scheitelpunkt ist dann $S \left( 1,5 \mid - 36,75 \right)$. Allgemein: $$ f(x)= a \left( x - x_S \right)^2 + y_S $$
Aus der Scheitelpunktform kann man durch Ausmultiplizieren wieder die allgemeine Form bekommen.
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